별 다면체
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1. 개요
별 다면체는 자기 교차하는 면을 가지거나, 자기 교차하는 꼭짓점 도형을 가질 수 있는 다면체를 의미하며, 케플러-푸앵소 다면체, 고른 별 다면체, 정규 별 다면체 등이 이에 해당한다. 정규 별 다면체는 슐레플리 기호로 나타내며, 별 다각형 면 또는 꼭짓점 도형을 가질 수 있다. 별 다면체는 볼록 다면체의 별 모양 만들기나 면 분할을 통해 생성될 수 있으며, 별 영역 다면체와 별 다포체도 포함한다. 4차원에서는 슐레플리-헤스 다포체라고 불리는 10개의 정규 별 다포체가 존재하며, 4차원보다 높은 차원에는 정규 별 다면체가 존재하지 않는다.
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| 별 다면체 | |
|---|---|
| 별 다면체 | |
 | |
| 정의 | |
| 정의 | 면이나 꼭짓점이 별 모양인 다면체 |
| 종류 | |
| 케플러-푸앵소 다면체 | 오목한 면을 가진 정다면체 |
| 균일 별 다면체 | 두 종류 이상의 면을 가진 별 모양의 다면체 |
| 별 다면체 깎기 | 깎는 과정에서 별 모양의 면을 생성하는 다면체 |
| 특징 | |
| 오목면 | 일부 면이 오목하게 들어간 형태 |
| 자가 교차 | 면이 스스로 교차하는 형태 |
| 별 모양 | 뾰족하게 튀어나온 부분이 있는 형태 |
| 예시 | |
| 케플러-푸앵소 다면체 | 작은 별모양 십이면체 큰 별모양 십이면체 큰 십이면체 큰 이십면체 |
| 균일 별 다면체 | 깎은 큰 십이면체 깎은 십이면체 |
2. 자기 교차 다면체
케플러-푸앵소 다면체를 비롯한 고른 별 다면체와 그 쌍대, 다면체의 별모양화 등은 자기 교차 다면체에 해당한다. 자기 교차 다면체는 면이나 꼭짓점 도형이 자기 자신과 교차하는 다면체를 말한다.
2. 1. 정규 별 다면체
케플러-푸앵소 다면체를 비롯한 고른 별 다면체와 그 쌍대, 다면체의 별모양화 등이 이에 해당한다. 정규 별 다면체는 자기 교차 다면체로, 자기 교차하는 면이나 꼭짓점 도형을 가질 수 있다.케플러-푸앵소 다면체라고 알려진 네 개의 정규 별 다면체가 있다. 슐레플리 기호 {''p'',''q''}는 ''p''각형 면과 ''q''각형 꼭짓점 도형을 의미한다. 이 중 두 개는 오각별 {5/2} 면을 가지고 있고, 두 개는 오각별 꼭짓점 도형을 가지고 있다.
모든 별 다각형 {''p/q''}에 대해 무한히 많은 정규 별 이면체 {2,''p/q''}와 호소헤드론 {''p/q'',2}가 존재한다. 이들은 유클리드 공간에서는 퇴화되지만, 구면에서는 비퇴화 형태로 실현될 수 있다.
2. 2. 고른 별 다면체와 그 쌍대
케플러-푸앵소 다면체를 포함한 고른 별 다면체와 그 쌍대, 다면체의 별모양화 등이 여기에 해당한다. 다수의 별 다면체가 존재하며, 여기에는 각기둥과 엇각기둥과 그들의 쌍대 다면체를 포함하는 두 개의 무한 수열이 포함된다.정다각형 및 쌍대 다면체 별 다면체는 자기 교차 다면체이기도 하다. 이들은 자기 교차 면 또는 자기 교차 꼭짓점 도형을 가질 수 있으며, 둘 다 가질 수도 있다.
정다각형 별 다면체는 정다각형 또는 정 별 다각형 면을 갖는다. 쌍대 정다각형 별 다면체는 정다각형 면 또는 정 별 다각형 꼭짓점 도형을 갖는다.
2. 3. 별모양화와 면 분할
케플러-푸앵소 다면체를 비롯한 고른 별 다면체와 그 쌍대, 다면체의 별모양화 등이 이에 해당한다. 위의 형태 외에도, 무한한 종류의 자기 교차 (별 모양) 다면체가 존재한다.두 가지 중요한 종류는 볼록 다면체의 별 모양 만들기와 그 쌍대 다면체의 면 분할이다.
예를 들어, 정십이면체의 완전한 별 모양 만들기(그림 참조)는 각각 (9/4) 다각형으로 이루어진 20개의 동일한 면으로 구성된 자기 교차 다면체로 해석될 수 있다. 아래는 이 다면체의 한 면을 노란색으로 그린 그림이다.
3. 별 영역 다면체
자기 교차는 없지만, 내부의 한 점에서 전체를 볼 수 있는 다면체는 별 영역의 한 예시이다. 많은 자기 교차하는 별 다면체의 보이는 외부 부분은 별 영역의 경계를 형성하지만, 외형이 비슷함에도 불구하고 추상 다면체로서 이것들은 서로 다른 구조를 가진다. 예를 들어, 작은 별 모양 십이면체는 12개의 별 모양 오각형 면을 가지고 있지만, 해당하는 별 영역은 60개의 이등변삼각형 면을 가지며, 그에 따라 서로 다른 수의 꼭짓점과 모서리를 갖는다.
다면체 별 영역은 다양한 유형의 건축물, 일반적으로 종교적인 건축물에 나타난다. 예를 들어, 많은 바로크 양식의 교회에서 교회를 지은 교황의 상징으로, 헝가리 교회 및 기타 종교 건물에서 볼 수 있다. 이러한 별들은 장식으로도 사용될 수 있다. 모라비안 별은 두 가지 목적 모두에 사용되며 다양한 형태로 제작될 수 있다. 
4. 별 다포체
별 다포체는 별 다면체의 개념을 임의의 차원으로 확장한 것이다. 정규 별 다포체는 면 또는 꼭짓점 도형이 별 다면체인 경우이다.
4차원에서는 10개의 정규 별 다포체가 존재하며, 슐레플리-헤스 다포체라고 불린다. 이들은 모두 다섯 개의 정규 플라톤 입체 또는 네 개의 정규 별 케플러-푸앵소 다면체 중 하나인 면으로 구성된다.
예를 들어, 큰 대별 120-포체를 3차원으로 직교 투영하면 다음과 같이 보인다.
4차원보다 높은 차원에서는 정규 별 다면체가 존재하지 않는다.
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